3.245 \(\int \frac {\tan ^2(e+f x)}{(a+b \tan ^2(e+f x))^3} \, dx\)

Optimal. Leaf size=144 \[ \frac {\left (3 a^2+6 a b-b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b} \tan (e+f x)}{\sqrt {a}}\right )}{8 a^{3/2} \sqrt {b} f (a-b)^3}+\frac {(3 a+b) \tan (e+f x)}{8 a f (a-b)^2 \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )}+\frac {\tan (e+f x)}{4 f (a-b) \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^2}-\frac {x}{(a-b)^3} \]

[Out]

-x/(a-b)^3+1/8*(3*a^2+6*a*b-b^2)*arctan(b^(1/2)*tan(f*x+e)/a^(1/2))/a^(3/2)/(a-b)^3/f/b^(1/2)+1/4*tan(f*x+e)/(
a-b)/f/(a+b*tan(f*x+e)^2)^2+1/8*(3*a+b)*tan(f*x+e)/a/(a-b)^2/f/(a+b*tan(f*x+e)^2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.15, antiderivative size = 144, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 6, number of rules used = 6, integrand size = 23, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.261, Rules used = {3670, 471, 527, 522, 203, 205} \[ \frac {\left (3 a^2+6 a b-b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b} \tan (e+f x)}{\sqrt {a}}\right )}{8 a^{3/2} \sqrt {b} f (a-b)^3}+\frac {(3 a+b) \tan (e+f x)}{8 a f (a-b)^2 \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )}+\frac {\tan (e+f x)}{4 f (a-b) \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^2}-\frac {x}{(a-b)^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Tan[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3,x]

[Out]

-(x/(a - b)^3) + ((3*a^2 + 6*a*b - b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(8*a^(3/2)*(a - b)^3*Sqrt[b]*f
) + Tan[e + f*x]/(4*(a - b)*f*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^2) + ((3*a + b)*Tan[e + f*x])/(8*a*(a - b)^2*f*(a + b*Tan
[e + f*x]^2))

Rule 203

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTan[(Rt[b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 471

Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(e^(n -
1)*(e*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(n*(b*c - a*d)*(p + 1)), x] - Dist[e^n/(n*(b*c -
a*d)*(p + 1)), Int[(e*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*(m - n + 1) + d*(m + n*(p + q + 1)
+ 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GeQ[n
, m - n + 1] && GtQ[m - n + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

Rule 522

Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))), x_Symbol] :> Dist[(b*e - a*f
)/(b*c - a*d), Int[1/(a + b*x^n), x], x] - Dist[(d*e - c*f)/(b*c - a*d), Int[1/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d, e, f, n}, x]

Rule 527

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> -Simp[
((b*e - a*f)*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(a*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), x] + Dist[1/(a*n*(b*c - a*d
)*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*(b*e - a*f) + e*n*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*(b*e - a*f)
*(n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, q}, x] && LtQ[p, -1]

Rule 3670

Int[((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
:> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[(c*ff)/f, Subst[Int[(((d*ff*x)/c)^m*(a + b*(ff*x)^n)^p)/(c^
2 + ff^2*x^2), x], x, (c*Tan[e + f*x])/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && (IGtQ[p, 0] || EqQ
[n, 2] || EqQ[n, 4] || (IntegerQ[p] && RationalQ[n]))

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {\tan ^2(e+f x)}{\left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^3} \, dx &=\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {x^2}{\left (1+x^2\right ) \left (a+b x^2\right )^3} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{f}\\ &=\frac {\tan (e+f x)}{4 (a-b) f \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^2}-\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {1-3 x^2}{\left (1+x^2\right ) \left (a+b x^2\right )^2} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{4 (a-b) f}\\ &=\frac {\tan (e+f x)}{4 (a-b) f \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^2}+\frac {(3 a+b) \tan (e+f x)}{8 a (a-b)^2 f \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )}-\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {5 a-b+(-3 a-b) x^2}{\left (1+x^2\right ) \left (a+b x^2\right )} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{8 a (a-b)^2 f}\\ &=\frac {\tan (e+f x)}{4 (a-b) f \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^2}+\frac {(3 a+b) \tan (e+f x)}{8 a (a-b)^2 f \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )}-\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{1+x^2} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{(a-b)^3 f}+\frac {\left (3 a^2+6 a b-b^2\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{a+b x^2} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{8 a (a-b)^3 f}\\ &=-\frac {x}{(a-b)^3}+\frac {\left (3 a^2+6 a b-b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b} \tan (e+f x)}{\sqrt {a}}\right )}{8 a^{3/2} (a-b)^3 \sqrt {b} f}+\frac {\tan (e+f x)}{4 (a-b) f \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^2}+\frac {(3 a+b) \tan (e+f x)}{8 a (a-b)^2 f \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 2.11, size = 139, normalized size = 0.97 \[ \frac {\frac {(a-b) \sin (2 (e+f x)) \left (\left (5 a^2-4 a b-b^2\right ) \cos (2 (e+f x))+5 a^2+2 a b+b^2\right )}{a ((a-b) \cos (2 (e+f x))+a+b)^2}+\frac {\left (3 a^2+6 a b-b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b} \tan (e+f x)}{\sqrt {a}}\right )}{a^{3/2} \sqrt {b}}-8 (e+f x)}{8 f (a-b)^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Tan[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2)^3,x]

[Out]

(-8*(e + f*x) + ((3*a^2 + 6*a*b - b^2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a]])/(a^(3/2)*Sqrt[b]) + ((a - b)*(5
*a^2 + 2*a*b + b^2 + (5*a^2 - 4*a*b - b^2)*Cos[2*(e + f*x)])*Sin[2*(e + f*x)])/(a*(a + b + (a - b)*Cos[2*(e +
f*x)])^2))/(8*(a - b)^3*f)

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 0.76, size = 759, normalized size = 5.27 \[ \left [-\frac {32 \, a^{2} b^{3} f x \tan \left (f x + e\right )^{4} + 64 \, a^{3} b^{2} f x \tan \left (f x + e\right )^{2} + 32 \, a^{4} b f x - 4 \, {\left (3 \, a^{3} b^{2} - 2 \, a^{2} b^{3} - a b^{4}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{3} + {\left ({\left (3 \, a^{2} b^{2} + 6 \, a b^{3} - b^{4}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{4} + 3 \, a^{4} + 6 \, a^{3} b - a^{2} b^{2} + 2 \, {\left (3 \, a^{3} b + 6 \, a^{2} b^{2} - a b^{3}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{2}\right )} \sqrt {-a b} \log \left (\frac {b^{2} \tan \left (f x + e\right )^{4} - 6 \, a b \tan \left (f x + e\right )^{2} + a^{2} - 4 \, {\left (b \tan \left (f x + e\right )^{3} - a \tan \left (f x + e\right )\right )} \sqrt {-a b}}{b^{2} \tan \left (f x + e\right )^{4} + 2 \, a b \tan \left (f x + e\right )^{2} + a^{2}}\right ) - 4 \, {\left (5 \, a^{4} b - 6 \, a^{3} b^{2} + a^{2} b^{3}\right )} \tan \left (f x + e\right )}{32 \, {\left ({\left (a^{5} b^{3} - 3 \, a^{4} b^{4} + 3 \, a^{3} b^{5} - a^{2} b^{6}\right )} f \tan \left (f x + e\right )^{4} + 2 \, {\left (a^{6} b^{2} - 3 \, a^{5} b^{3} + 3 \, a^{4} b^{4} - a^{3} b^{5}\right )} f \tan \left (f x + e\right )^{2} + {\left (a^{7} b - 3 \, a^{6} b^{2} + 3 \, a^{5} b^{3} - a^{4} b^{4}\right )} f\right )}}, -\frac {16 \, a^{2} b^{3} f x \tan \left (f x + e\right )^{4} + 32 \, a^{3} b^{2} f x \tan \left (f x + e\right )^{2} + 16 \, a^{4} b f x - 2 \, {\left (3 \, a^{3} b^{2} - 2 \, a^{2} b^{3} - a b^{4}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{3} - {\left ({\left (3 \, a^{2} b^{2} + 6 \, a b^{3} - b^{4}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{4} + 3 \, a^{4} + 6 \, a^{3} b - a^{2} b^{2} + 2 \, {\left (3 \, a^{3} b + 6 \, a^{2} b^{2} - a b^{3}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{2}\right )} \sqrt {a b} \arctan \left (\frac {{\left (b \tan \left (f x + e\right )^{2} - a\right )} \sqrt {a b}}{2 \, a b \tan \left (f x + e\right )}\right ) - 2 \, {\left (5 \, a^{4} b - 6 \, a^{3} b^{2} + a^{2} b^{3}\right )} \tan \left (f x + e\right )}{16 \, {\left ({\left (a^{5} b^{3} - 3 \, a^{4} b^{4} + 3 \, a^{3} b^{5} - a^{2} b^{6}\right )} f \tan \left (f x + e\right )^{4} + 2 \, {\left (a^{6} b^{2} - 3 \, a^{5} b^{3} + 3 \, a^{4} b^{4} - a^{3} b^{5}\right )} f \tan \left (f x + e\right )^{2} + {\left (a^{7} b - 3 \, a^{6} b^{2} + 3 \, a^{5} b^{3} - a^{4} b^{4}\right )} f\right )}}\right ] \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tan(f*x+e)^2/(a+b*tan(f*x+e)^2)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/32*(32*a^2*b^3*f*x*tan(f*x + e)^4 + 64*a^3*b^2*f*x*tan(f*x + e)^2 + 32*a^4*b*f*x - 4*(3*a^3*b^2 - 2*a^2*b^
3 - a*b^4)*tan(f*x + e)^3 + ((3*a^2*b^2 + 6*a*b^3 - b^4)*tan(f*x + e)^4 + 3*a^4 + 6*a^3*b - a^2*b^2 + 2*(3*a^3
*b + 6*a^2*b^2 - a*b^3)*tan(f*x + e)^2)*sqrt(-a*b)*log((b^2*tan(f*x + e)^4 - 6*a*b*tan(f*x + e)^2 + a^2 - 4*(b
*tan(f*x + e)^3 - a*tan(f*x + e))*sqrt(-a*b))/(b^2*tan(f*x + e)^4 + 2*a*b*tan(f*x + e)^2 + a^2)) - 4*(5*a^4*b
- 6*a^3*b^2 + a^2*b^3)*tan(f*x + e))/((a^5*b^3 - 3*a^4*b^4 + 3*a^3*b^5 - a^2*b^6)*f*tan(f*x + e)^4 + 2*(a^6*b^
2 - 3*a^5*b^3 + 3*a^4*b^4 - a^3*b^5)*f*tan(f*x + e)^2 + (a^7*b - 3*a^6*b^2 + 3*a^5*b^3 - a^4*b^4)*f), -1/16*(1
6*a^2*b^3*f*x*tan(f*x + e)^4 + 32*a^3*b^2*f*x*tan(f*x + e)^2 + 16*a^4*b*f*x - 2*(3*a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 - a*b^4
)*tan(f*x + e)^3 - ((3*a^2*b^2 + 6*a*b^3 - b^4)*tan(f*x + e)^4 + 3*a^4 + 6*a^3*b - a^2*b^2 + 2*(3*a^3*b + 6*a^
2*b^2 - a*b^3)*tan(f*x + e)^2)*sqrt(a*b)*arctan(1/2*(b*tan(f*x + e)^2 - a)*sqrt(a*b)/(a*b*tan(f*x + e))) - 2*(
5*a^4*b - 6*a^3*b^2 + a^2*b^3)*tan(f*x + e))/((a^5*b^3 - 3*a^4*b^4 + 3*a^3*b^5 - a^2*b^6)*f*tan(f*x + e)^4 + 2
*(a^6*b^2 - 3*a^5*b^3 + 3*a^4*b^4 - a^3*b^5)*f*tan(f*x + e)^2 + (a^7*b - 3*a^6*b^2 + 3*a^5*b^3 - a^4*b^4)*f)]

________________________________________________________________________________________

giac [A]  time = 3.58, size = 200, normalized size = 1.39 \[ \frac {\frac {{\left (\pi \left \lfloor \frac {f x + e}{\pi } + \frac {1}{2} \right \rfloor \mathrm {sgn}\relax (b) + \arctan \left (\frac {b \tan \left (f x + e\right )}{\sqrt {a b}}\right )\right )} {\left (3 \, a^{2} + 6 \, a b - b^{2}\right )}}{{\left (a^{4} - 3 \, a^{3} b + 3 \, a^{2} b^{2} - a b^{3}\right )} \sqrt {a b}} - \frac {8 \, {\left (f x + e\right )}}{a^{3} - 3 \, a^{2} b + 3 \, a b^{2} - b^{3}} + \frac {3 \, a b \tan \left (f x + e\right )^{3} + b^{2} \tan \left (f x + e\right )^{3} + 5 \, a^{2} \tan \left (f x + e\right ) - a b \tan \left (f x + e\right )}{{\left (a^{3} - 2 \, a^{2} b + a b^{2}\right )} {\left (b \tan \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{2}}}{8 \, f} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tan(f*x+e)^2/(a+b*tan(f*x+e)^2)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

1/8*((pi*floor((f*x + e)/pi + 1/2)*sgn(b) + arctan(b*tan(f*x + e)/sqrt(a*b)))*(3*a^2 + 6*a*b - b^2)/((a^4 - 3*
a^3*b + 3*a^2*b^2 - a*b^3)*sqrt(a*b)) - 8*(f*x + e)/(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3) + (3*a*b*tan(f*x + e)^3 +
b^2*tan(f*x + e)^3 + 5*a^2*tan(f*x + e) - a*b*tan(f*x + e))/((a^3 - 2*a^2*b + a*b^2)*(b*tan(f*x + e)^2 + a)^2)
)/f

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 0.24, size = 339, normalized size = 2.35 \[ \frac {3 a b \left (\tan ^{3}\left (f x +e \right )\right )}{8 f \left (a -b \right )^{3} \left (a +b \left (\tan ^{2}\left (f x +e \right )\right )\right )^{2}}-\frac {\left (\tan ^{3}\left (f x +e \right )\right ) b^{2}}{4 f \left (a -b \right )^{3} \left (a +b \left (\tan ^{2}\left (f x +e \right )\right )\right )^{2}}-\frac {b^{3} \left (\tan ^{3}\left (f x +e \right )\right )}{8 f \left (a -b \right )^{3} \left (a +b \left (\tan ^{2}\left (f x +e \right )\right )\right )^{2} a}+\frac {5 a^{2} \tan \left (f x +e \right )}{8 f \left (a -b \right )^{3} \left (a +b \left (\tan ^{2}\left (f x +e \right )\right )\right )^{2}}-\frac {3 a b \tan \left (f x +e \right )}{4 f \left (a -b \right )^{3} \left (a +b \left (\tan ^{2}\left (f x +e \right )\right )\right )^{2}}+\frac {\tan \left (f x +e \right ) b^{2}}{8 f \left (a -b \right )^{3} \left (a +b \left (\tan ^{2}\left (f x +e \right )\right )\right )^{2}}+\frac {3 a \arctan \left (\frac {\tan \left (f x +e \right ) b}{\sqrt {a b}}\right )}{8 f \left (a -b \right )^{3} \sqrt {a b}}+\frac {3 b \arctan \left (\frac {\tan \left (f x +e \right ) b}{\sqrt {a b}}\right )}{4 f \left (a -b \right )^{3} \sqrt {a b}}-\frac {\arctan \left (\frac {\tan \left (f x +e \right ) b}{\sqrt {a b}}\right ) b^{2}}{8 f \left (a -b \right )^{3} a \sqrt {a b}}-\frac {\arctan \left (\tan \left (f x +e \right )\right )}{f \left (a -b \right )^{3}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tan(f*x+e)^2/(a+b*tan(f*x+e)^2)^3,x)

[Out]

3/8/f*a/(a-b)^3/(a+b*tan(f*x+e)^2)^2*b*tan(f*x+e)^3-1/4/f/(a-b)^3/(a+b*tan(f*x+e)^2)^2*tan(f*x+e)^3*b^2-1/8/f/
(a-b)^3/(a+b*tan(f*x+e)^2)^2*b^3/a*tan(f*x+e)^3+5/8/f*a^2/(a-b)^3/(a+b*tan(f*x+e)^2)^2*tan(f*x+e)-3/4/f/(a-b)^
3/(a+b*tan(f*x+e)^2)^2*a*b*tan(f*x+e)+1/8/f/(a-b)^3/(a+b*tan(f*x+e)^2)^2*tan(f*x+e)*b^2+3/8/f*a/(a-b)^3/(a*b)^
(1/2)*arctan(tan(f*x+e)*b/(a*b)^(1/2))+3/4/f/(a-b)^3*b/(a*b)^(1/2)*arctan(tan(f*x+e)*b/(a*b)^(1/2))-1/8/f/(a-b
)^3/a/(a*b)^(1/2)*arctan(tan(f*x+e)*b/(a*b)^(1/2))*b^2-1/f/(a-b)^3*arctan(tan(f*x+e))

________________________________________________________________________________________

maxima [A]  time = 0.88, size = 213, normalized size = 1.48 \[ \frac {\frac {{\left (3 \, a^{2} + 6 \, a b - b^{2}\right )} \arctan \left (\frac {b \tan \left (f x + e\right )}{\sqrt {a b}}\right )}{{\left (a^{4} - 3 \, a^{3} b + 3 \, a^{2} b^{2} - a b^{3}\right )} \sqrt {a b}} + \frac {{\left (3 \, a b + b^{2}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{3} + {\left (5 \, a^{2} - a b\right )} \tan \left (f x + e\right )}{a^{5} - 2 \, a^{4} b + a^{3} b^{2} + {\left (a^{3} b^{2} - 2 \, a^{2} b^{3} + a b^{4}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{4} + 2 \, {\left (a^{4} b - 2 \, a^{3} b^{2} + a^{2} b^{3}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{2}} - \frac {8 \, {\left (f x + e\right )}}{a^{3} - 3 \, a^{2} b + 3 \, a b^{2} - b^{3}}}{8 \, f} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tan(f*x+e)^2/(a+b*tan(f*x+e)^2)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/8*((3*a^2 + 6*a*b - b^2)*arctan(b*tan(f*x + e)/sqrt(a*b))/((a^4 - 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 - a*b^3)*sqrt(a*b)) +
((3*a*b + b^2)*tan(f*x + e)^3 + (5*a^2 - a*b)*tan(f*x + e))/(a^5 - 2*a^4*b + a^3*b^2 + (a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 +
a*b^4)*tan(f*x + e)^4 + 2*(a^4*b - 2*a^3*b^2 + a^2*b^3)*tan(f*x + e)^2) - 8*(f*x + e)/(a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2
- b^3))/f

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 15.49, size = 3817, normalized size = 26.51 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tan(e + f*x)^2/(a + b*tan(e + f*x)^2)^3,x)

[Out]

((tan(e + f*x)*(5*a - b))/(8*(a^2 - 2*a*b + b^2)) + (tan(e + f*x)^3*(3*a*b + b^2))/(8*a*(a^2 - 2*a*b + b^2)))/
(f*(a^2 + b^2*tan(e + f*x)^4 + 2*a*b*tan(e + f*x)^2)) - (2*atan((((((32*a*b^9 - 352*a^2*b^8 + 1440*a^3*b^7 - 3
040*a^4*b^6 + 3680*a^5*b^5 - 2592*a^6*b^4 + 992*a^7*b^3 - 160*a^8*b^2)/(64*(a^8 - 6*a^7*b + a^2*b^6 - 6*a^3*b^
5 + 15*a^4*b^4 - 20*a^5*b^3 + 15*a^6*b^2)) - (tan(e + f*x)*(256*a^2*b^9 - 1280*a^3*b^8 + 2304*a^4*b^7 - 1280*a
^5*b^6 - 1280*a^6*b^5 + 2304*a^7*b^4 - 1280*a^8*b^3 + 256*a^9*b^2)*1i)/(32*(6*a*b^2 - 6*a^2*b + 2*a^3 - 2*b^3)
*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))*1i)/(6*a*b^2 - 6*a^2*b + 2*a^3 - 2*b^3) - (tan(e + f*x)*(
9*a^4*b - 12*a*b^4 + b^5 + 94*a^2*b^3 + 36*a^3*b^2))/(32*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))/(
6*a*b^2 - 6*a^2*b + 2*a^3 - 2*b^3) - ((((32*a*b^9 - 352*a^2*b^8 + 1440*a^3*b^7 - 3040*a^4*b^6 + 3680*a^5*b^5 -
2592*a^6*b^4 + 992*a^7*b^3 - 160*a^8*b^2)/(64*(a^8 - 6*a^7*b + a^2*b^6 - 6*a^3*b^5 + 15*a^4*b^4 - 20*a^5*b^3
+ 15*a^6*b^2)) + (tan(e + f*x)*(256*a^2*b^9 - 1280*a^3*b^8 + 2304*a^4*b^7 - 1280*a^5*b^6 - 1280*a^6*b^5 + 2304
*a^7*b^4 - 1280*a^8*b^3 + 256*a^9*b^2)*1i)/(32*(6*a*b^2 - 6*a^2*b + 2*a^3 - 2*b^3)*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 -
4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))*1i)/(6*a*b^2 - 6*a^2*b + 2*a^3 - 2*b^3) + (tan(e + f*x)*(9*a^4*b - 12*a*b^4 + b^5 + 9
4*a^2*b^3 + 36*a^3*b^2))/(32*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))/(6*a*b^2 - 6*a^2*b + 2*a^3 -
2*b^3))/((((((32*a*b^9 - 352*a^2*b^8 + 1440*a^3*b^7 - 3040*a^4*b^6 + 3680*a^5*b^5 - 2592*a^6*b^4 + 992*a^7*b^3
- 160*a^8*b^2)/(64*(a^8 - 6*a^7*b + a^2*b^6 - 6*a^3*b^5 + 15*a^4*b^4 - 20*a^5*b^3 + 15*a^6*b^2)) - (tan(e + f
*x)*(256*a^2*b^9 - 1280*a^3*b^8 + 2304*a^4*b^7 - 1280*a^5*b^6 - 1280*a^6*b^5 + 2304*a^7*b^4 - 1280*a^8*b^3 + 2
56*a^9*b^2)*1i)/(32*(6*a*b^2 - 6*a^2*b + 2*a^3 - 2*b^3)*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))*1i
)/(6*a*b^2 - 6*a^2*b + 2*a^3 - 2*b^3) - (tan(e + f*x)*(9*a^4*b - 12*a*b^4 + b^5 + 94*a^2*b^3 + 36*a^3*b^2))/(3
2*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))*1i)/(6*a*b^2 - 6*a^2*b + 2*a^3 - 2*b^3) - (3*a*b^3 + 9*a
^3*b - b^4 + 21*a^2*b^2)/(32*(a^8 - 6*a^7*b + a^2*b^6 - 6*a^3*b^5 + 15*a^4*b^4 - 20*a^5*b^3 + 15*a^6*b^2)) + (
((((32*a*b^9 - 352*a^2*b^8 + 1440*a^3*b^7 - 3040*a^4*b^6 + 3680*a^5*b^5 - 2592*a^6*b^4 + 992*a^7*b^3 - 160*a^8
*b^2)/(64*(a^8 - 6*a^7*b + a^2*b^6 - 6*a^3*b^5 + 15*a^4*b^4 - 20*a^5*b^3 + 15*a^6*b^2)) + (tan(e + f*x)*(256*a
^2*b^9 - 1280*a^3*b^8 + 2304*a^4*b^7 - 1280*a^5*b^6 - 1280*a^6*b^5 + 2304*a^7*b^4 - 1280*a^8*b^3 + 256*a^9*b^2
)*1i)/(32*(6*a*b^2 - 6*a^2*b + 2*a^3 - 2*b^3)*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))*1i)/(6*a*b^2
- 6*a^2*b + 2*a^3 - 2*b^3) + (tan(e + f*x)*(9*a^4*b - 12*a*b^4 + b^5 + 94*a^2*b^3 + 36*a^3*b^2))/(32*(a^6 - 4
*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))*1i)/(6*a*b^2 - 6*a^2*b + 2*a^3 - 2*b^3))))/(f*(6*a*b^2 - 6*a^2*b +
2*a^3 - 2*b^3)) - (atan(((((tan(e + f*x)*(9*a^4*b - 12*a*b^4 + b^5 + 94*a^2*b^3 + 36*a^3*b^2))/(32*(a^6 - 4*a
^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)) - ((-a^3*b)^(1/2)*((32*a*b^9 - 352*a^2*b^8 + 1440*a^3*b^7 - 3040*a^4*
b^6 + 3680*a^5*b^5 - 2592*a^6*b^4 + 992*a^7*b^3 - 160*a^8*b^2)/(64*(a^8 - 6*a^7*b + a^2*b^6 - 6*a^3*b^5 + 15*a
^4*b^4 - 20*a^5*b^3 + 15*a^6*b^2)) - (tan(e + f*x)*(-a^3*b)^(1/2)*(6*a*b + 3*a^2 - b^2)*(256*a^2*b^9 - 1280*a^
3*b^8 + 2304*a^4*b^7 - 1280*a^5*b^6 - 1280*a^6*b^5 + 2304*a^7*b^4 - 1280*a^8*b^3 + 256*a^9*b^2))/(512*(a^6*b -
a^3*b^4 + 3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2)*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))*(6*a*b + 3*a^2 - b^2))/(
16*(a^6*b - a^3*b^4 + 3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2)))*(-a^3*b)^(1/2)*(6*a*b + 3*a^2 - b^2)*1i)/(16*(a^6*b - a^3*b^4 +
3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2)) + (((tan(e + f*x)*(9*a^4*b - 12*a*b^4 + b^5 + 94*a^2*b^3 + 36*a^3*b^2))/(32*(a^6 - 4*
a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)) + ((-a^3*b)^(1/2)*((32*a*b^9 - 352*a^2*b^8 + 1440*a^3*b^7 - 3040*a^4
*b^6 + 3680*a^5*b^5 - 2592*a^6*b^4 + 992*a^7*b^3 - 160*a^8*b^2)/(64*(a^8 - 6*a^7*b + a^2*b^6 - 6*a^3*b^5 + 15*
a^4*b^4 - 20*a^5*b^3 + 15*a^6*b^2)) + (tan(e + f*x)*(-a^3*b)^(1/2)*(6*a*b + 3*a^2 - b^2)*(256*a^2*b^9 - 1280*a
^3*b^8 + 2304*a^4*b^7 - 1280*a^5*b^6 - 1280*a^6*b^5 + 2304*a^7*b^4 - 1280*a^8*b^3 + 256*a^9*b^2))/(512*(a^6*b
- a^3*b^4 + 3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2)*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))*(6*a*b + 3*a^2 - b^2))/
(16*(a^6*b - a^3*b^4 + 3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2)))*(-a^3*b)^(1/2)*(6*a*b + 3*a^2 - b^2)*1i)/(16*(a^6*b - a^3*b^4
+ 3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2)))/((3*a*b^3 + 9*a^3*b - b^4 + 21*a^2*b^2)/(32*(a^8 - 6*a^7*b + a^2*b^6 - 6*a^3*b^5 +
15*a^4*b^4 - 20*a^5*b^3 + 15*a^6*b^2)) + (((tan(e + f*x)*(9*a^4*b - 12*a*b^4 + b^5 + 94*a^2*b^3 + 36*a^3*b^2))
/(32*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)) - ((-a^3*b)^(1/2)*((32*a*b^9 - 352*a^2*b^8 + 1440*a^3*
b^7 - 3040*a^4*b^6 + 3680*a^5*b^5 - 2592*a^6*b^4 + 992*a^7*b^3 - 160*a^8*b^2)/(64*(a^8 - 6*a^7*b + a^2*b^6 - 6
*a^3*b^5 + 15*a^4*b^4 - 20*a^5*b^3 + 15*a^6*b^2)) - (tan(e + f*x)*(-a^3*b)^(1/2)*(6*a*b + 3*a^2 - b^2)*(256*a^
2*b^9 - 1280*a^3*b^8 + 2304*a^4*b^7 - 1280*a^5*b^6 - 1280*a^6*b^5 + 2304*a^7*b^4 - 1280*a^8*b^3 + 256*a^9*b^2)
)/(512*(a^6*b - a^3*b^4 + 3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2)*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))*(6*a*b +
3*a^2 - b^2))/(16*(a^6*b - a^3*b^4 + 3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2)))*(-a^3*b)^(1/2)*(6*a*b + 3*a^2 - b^2))/(16*(a^6*b
- a^3*b^4 + 3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2)) - (((tan(e + f*x)*(9*a^4*b - 12*a*b^4 + b^5 + 94*a^2*b^3 + 36*a^3*b^2))/(
32*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)) + ((-a^3*b)^(1/2)*((32*a*b^9 - 352*a^2*b^8 + 1440*a^3*b^
7 - 3040*a^4*b^6 + 3680*a^5*b^5 - 2592*a^6*b^4 + 992*a^7*b^3 - 160*a^8*b^2)/(64*(a^8 - 6*a^7*b + a^2*b^6 - 6*a
^3*b^5 + 15*a^4*b^4 - 20*a^5*b^3 + 15*a^6*b^2)) + (tan(e + f*x)*(-a^3*b)^(1/2)*(6*a*b + 3*a^2 - b^2)*(256*a^2*
b^9 - 1280*a^3*b^8 + 2304*a^4*b^7 - 1280*a^5*b^6 - 1280*a^6*b^5 + 2304*a^7*b^4 - 1280*a^8*b^3 + 256*a^9*b^2))/
(512*(a^6*b - a^3*b^4 + 3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2)*(a^6 - 4*a^5*b + a^2*b^4 - 4*a^3*b^3 + 6*a^4*b^2)))*(6*a*b + 3*
a^2 - b^2))/(16*(a^6*b - a^3*b^4 + 3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2)))*(-a^3*b)^(1/2)*(6*a*b + 3*a^2 - b^2))/(16*(a^6*b -
a^3*b^4 + 3*a^4*b^3 - 3*a^5*b^2))))*(-a^3*b)^(1/2)*(6*a*b + 3*a^2 - b^2)*1i)/(8*f*(a^6*b - a^3*b^4 + 3*a^4*b^
3 - 3*a^5*b^2))

________________________________________________________________________________________

sympy [A]  time = 140.01, size = 9763, normalized size = 67.80 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tan(f*x+e)**2/(a+b*tan(f*x+e)**2)**3,x)

[Out]

Piecewise((zoo*x/tan(e)**4, Eq(a, 0) & Eq(b, 0) & Eq(f, 0)), ((-x + tan(e + f*x)/f)/a**3, Eq(b, 0)), ((x + 1/(
f*tan(e + f*x)) - 1/(3*f*tan(e + f*x)**3))/b**3, Eq(a, 0)), (3*f*x*tan(e + f*x)**6/(48*b**3*f*tan(e + f*x)**6
+ 144*b**3*f*tan(e + f*x)**4 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**2 + 48*b**3*f) + 9*f*x*tan(e + f*x)**4/(48*b**3*f*tan(
e + f*x)**6 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**4 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**2 + 48*b**3*f) + 9*f*x*tan(e + f*x)**2/(48
*b**3*f*tan(e + f*x)**6 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**4 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**2 + 48*b**3*f) + 3*f*x/(48*b**
3*f*tan(e + f*x)**6 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**4 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**2 + 48*b**3*f) + 3*tan(e + f*x)**5
/(48*b**3*f*tan(e + f*x)**6 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**4 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**2 + 48*b**3*f) + 8*tan(e +
f*x)**3/(48*b**3*f*tan(e + f*x)**6 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**4 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**2 + 48*b**3*f) - 3
*tan(e + f*x)/(48*b**3*f*tan(e + f*x)**6 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**4 + 144*b**3*f*tan(e + f*x)**2 + 48*b**3*f
), Eq(a, b)), (x*tan(e)**2/(a + b*tan(e)**2)**3, Eq(f, 0)), (-16*I*a**(7/2)*b*f*x*sqrt(1/b)/(16*I*a**(13/2)*b*
f*sqrt(1/b) + 32*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b) + 16*I*a**(9/2
)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*I*a**(9/2)*b**3*f*sqr
t(1/b) - 48*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*
I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*
tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4) + 10*I*a**(7/2)*b*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)/(16
*I*a**(13/2)*b*f*sqrt(1/b) + 32*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)
+ 16*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*I*a**(
9/2)*b**3*f*sqrt(1/b) - 48*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e
+ f*x)**2 - 16*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*I*a**(5/2)*b*
*5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4) - 32*I*a**(5/2)*b**2*f*x*sqrt
(1/b)*tan(e + f*x)**2/(16*I*a**(13/2)*b*f*sqrt(1/b) + 32*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*I*a
**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b) + 16*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*ta
n(e + f*x)**2 + 48*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b) - 48*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*I*a**(7/2
)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f
*x)**4 - 32*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4) + 6*
I*a**(5/2)*b**2*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**3/(16*I*a**(13/2)*b*f*sqrt(1/b) + 32*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)*tan(
e + f*x)**2 - 48*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b) + 16*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**(9/2)
*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b) - 48*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*
x)**4 + 96*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b**5*f
*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1/b)*t
an(e + f*x)**4) - 12*I*a**(5/2)*b**2*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)/(16*I*a**(13/2)*b*f*sqrt(1/b) + 32*I*a**(11/2)*b**
2*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b) + 16*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)*
*4 - 96*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b) - 48*I*a**(7/2)*b**4*f*sq
rt(1/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48
*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*
b**6*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4) - 16*I*a**(3/2)*b**3*f*x*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4/(16*I*a**(13/2)*b*f*sqrt(
1/b) + 32*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b) + 16*I*a**(9/2)*b**3*
f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)
- 48*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(7
/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e +
f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4) - 4*I*a**(3/2)*b**3*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**3/(16*I
*a**(13/2)*b*f*sqrt(1/b) + 32*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b) +
16*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*I*a**(9/
2)*b**3*f*sqrt(1/b) - 48*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e +
f*x)**2 - 16*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*I*a**(5/2)*b**5
*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4) + 2*I*a**(3/2)*b**3*sqrt(1/b)*t
an(e + f*x)/(16*I*a**(13/2)*b*f*sqrt(1/b) + 32*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*I*a**(11/2)*b
**2*f*sqrt(1/b) + 16*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)
**2 + 48*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b) - 48*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*I*a**(7/2)*b**4*f*s
qrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 3
2*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4) - 2*I*sqrt(a)*
b**4*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**3/(16*I*a**(13/2)*b*f*sqrt(1/b) + 32*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2
- 48*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b) + 16*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**(9/2)*b**3*f*sqr
t(1/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b) - 48*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*
I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*
tan(e + f*x)**4 - 32*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)
**4) + 3*a**4*log(-I*sqrt(a)*sqrt(1/b) + tan(e + f*x))/(16*I*a**(13/2)*b*f*sqrt(1/b) + 32*I*a**(11/2)*b**2*f*s
qrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b) + 16*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 -
96*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b) - 48*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/
b)*tan(e + f*x)**4 + 96*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a*
*(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*
f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4) - 3*a**4*log(I*sqrt(a)*sqrt(1/b) + tan(e + f*x))/(16*I*a**(13/2)*b*f*sqrt(1/b) +
32*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b) + 16*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(
1/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b) - 48*I*
a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(7/2)*b**
4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**
2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4) + 6*a**3*b*log(-I*sqrt(a)*sqrt(1/b) + tan(e + f*x))*tan(e
+ f*x)**2/(16*I*a**(13/2)*b*f*sqrt(1/b) + 32*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*I*a**(11/2)*b**
2*f*sqrt(1/b) + 16*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**
2 + 48*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b) - 48*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*I*a**(7/2)*b**4*f*sqr
t(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*
I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4) + 6*a**3*b*log(-
I*sqrt(a)*sqrt(1/b) + tan(e + f*x))/(16*I*a**(13/2)*b*f*sqrt(1/b) + 32*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*
x)**2 - 48*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b) + 16*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**(9/2)*b**3*
f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b) - 48*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4
+ 96*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(
1/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1/b)*tan(e +
f*x)**4) - 6*a**3*b*log(I*sqrt(a)*sqrt(1/b) + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)**2/(16*I*a**(13/2)*b*f*sqrt(1/b) + 3
2*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b) + 16*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1
/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b) - 48*I*a
**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(7/2)*b**4
*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2
- 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4) - 6*a**3*b*log(I*sqrt(a)*sqrt(1/b) + tan(e + f*x))/(16*I*a*
*(13/2)*b*f*sqrt(1/b) + 32*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b) + 16
*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*I*a**(9/2)*
b**3*f*sqrt(1/b) - 48*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x
)**2 - 16*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*I*a**(5/2)*b**5*f*
sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4) + 3*a**2*b**2*log(-I*sqrt(a)*sqrt(
1/b) + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)**4/(16*I*a**(13/2)*b*f*sqrt(1/b) + 32*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)*tan(e + f
*x)**2 - 48*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b) + 16*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**(9/2)*b**3
*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b) - 48*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4
+ 96*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt
(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1/b)*tan(e
+ f*x)**4) + 12*a**2*b**2*log(-I*sqrt(a)*sqrt(1/b) + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)**2/(16*I*a**(13/2)*b*f*sqrt(1/
b) + 32*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b) + 16*I*a**(9/2)*b**3*f*
sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b) -
48*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(7/2
)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f
*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4) - a**2*b**2*log(-I*sqrt(a)*sqrt(1/b) + tan(e + f*x))/
(16*I*a**(13/2)*b*f*sqrt(1/b) + 32*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1
/b) + 16*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*I*a
**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b) - 48*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan
(e + f*x)**2 - 16*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*I*a**(5/2)
*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4) - 3*a**2*b**2*log(I*sqrt(a
)*sqrt(1/b) + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)**4/(16*I*a**(13/2)*b*f*sqrt(1/b) + 32*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)*ta
n(e + f*x)**2 - 48*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b) + 16*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**(9/
2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b) - 48*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e +
f*x)**4 + 96*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b**5
*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1/b)
*tan(e + f*x)**4) - 12*a**2*b**2*log(I*sqrt(a)*sqrt(1/b) + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)**2/(16*I*a**(13/2)*b*f*s
qrt(1/b) + 32*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b) + 16*I*a**(9/2)*b
**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1
/b) - 48*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a
**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan
(e + f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4) + a**2*b**2*log(I*sqrt(a)*sqrt(1/b) + tan(e + f
*x))/(16*I*a**(13/2)*b*f*sqrt(1/b) + 32*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*I*a**(11/2)*b**2*f*s
qrt(1/b) + 16*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 + 4
8*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b) - 48*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b
)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*I*a**
(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4) + 6*a*b**3*log(-I*sqr
t(a)*sqrt(1/b) + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)**4/(16*I*a**(13/2)*b*f*sqrt(1/b) + 32*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)
*tan(e + f*x)**2 - 48*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b) + 16*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**
(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b) - 48*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e
+ f*x)**4 + 96*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b
**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1
/b)*tan(e + f*x)**4) - 2*a*b**3*log(-I*sqrt(a)*sqrt(1/b) + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)**2/(16*I*a**(13/2)*b*f*s
qrt(1/b) + 32*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b) + 16*I*a**(9/2)*b
**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1
/b) - 48*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a
**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan
(e + f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4) - 6*a*b**3*log(I*sqrt(a)*sqrt(1/b) + tan(e + f*
x))*tan(e + f*x)**4/(16*I*a**(13/2)*b*f*sqrt(1/b) + 32*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*I*a**
(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b) + 16*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(
e + f*x)**2 + 48*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b) - 48*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*I*a**(7/2)*
b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x
)**4 - 32*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4) + 2*a*
b**3*log(I*sqrt(a)*sqrt(1/b) + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)**2/(16*I*a**(13/2)*b*f*sqrt(1/b) + 32*I*a**(11/2)*b*
*2*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b) + 16*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)
**4 - 96*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b) - 48*I*a**(7/2)*b**4*f*s
qrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 4
8*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)
*b**6*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4) - b**4*log(-I*sqrt(a)*sqrt(1/b) + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)**4/(16*I*a**(1
3/2)*b*f*sqrt(1/b) + 32*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 48*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b) + 16*I*
a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 + 48*I*a**(9/2)*b**
3*f*sqrt(1/b) - 48*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**
2 - 16*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 32*I*a**(5/2)*b**5*f*sqr
t(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4) + b**4*log(I*sqrt(a)*sqrt(1/b) + tan(
e + f*x))*tan(e + f*x)**4/(16*I*a**(13/2)*b*f*sqrt(1/b) + 32*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 48
*I*a**(11/2)*b**2*f*sqrt(1/b) + 16*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 - 96*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b
)*tan(e + f*x)**2 + 48*I*a**(9/2)*b**3*f*sqrt(1/b) - 48*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4 + 96*I*a**
(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(7/2)*b**4*f*sqrt(1/b) + 48*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e
+ f*x)**4 - 32*I*a**(5/2)*b**5*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**2 - 16*I*a**(3/2)*b**6*f*sqrt(1/b)*tan(e + f*x)**4),
True))

________________________________________________________________________________________